1. 미분적분학의 발상
James Steward Calculus
미적분학은 고등학교 때부터 대학 전공 기초에 이르기까지 오랜 시간 공부해온 과목이지만, 그 본질에 대해 직관적으로 이해해야만 응용하고 적용할 수 있다. 미적분을 학습하는데에 중요한 것은 곱의 미분법, 연쇄 법칙, 음함수의 미분법, 미분과 적분의 관계, 테일러 급수같은 핵심 발상을 다루면서 그 많은 공식들이 실제로 어디에서 왔는지, 그것들이 의미하는 바는 무엇인지 포괄적인 시각적 접근을 통하여 명확히 이해해야한다. 마치, 수학을 발명한다는 감각을 느낄수 있어야 한다.
큰 수가 작은 것들의 합으로 근사될 수 있는 문제들은 특정 그래프 아래의 면적에 관한 문제로 해결할 수 있다.
미분적분학이 중요한 이유
Circle
먼저 기하학의 매우 특정한 형태인 원의 넓이를 통해 미적분의 기본 발상을 파악해보자. 원을 여러 개의 매우 얇은 원형 고리(띠)로 나눌 수 있다고 생각해 보면, 각각의 고리의 넓이는 아주 작은 두께를 가진 직사각형의 넓이와 비슷하다. 원의 중심에서 반지름이 r인 고리의 두께를 dr라고 하면, 고리의 넓이는 다음과 같이 계산할 수 있다.
1. 고리의 둘레는 2πr이다.
2. 고리의 두께는 dr이다.
여기서 고리의 두께를 dr이라고 부르는 이유는, 미적분에서 사용하는 무한히 작은 변화량을 나타내기 때문이다. 고리의 넓이는 둘레 2πr에 두께 dr을 곱한 dA=2πr⋅dr로 나타낼 수 있고 원 전체의 넓이는 이 작은 고리들의 넓이를 0에서 r까지 더한 것과 같다. dr의 근사치를 낮게 잡을수록 그래프 아래의 영역은 삼각형에 가까워지는데, 즉 원의 넓이는 고리를 연결한 삼각형의 넓이과 같다. 이것이 적분에 대한 기본적인 발상이다.
이처럼 어려운 문제를 작은 값들의 총합으로 근사하여 해결하는 것은 원의 넓이 계산에만 국한되지 않는다. 예를 들면 차가 얼마나 멀리 움직였냐를 각 시점에서의 속도에 근거하여 알아낼 수 있는데, 차는 아주 다양한 시점들을 통과할 것이다. 그리고 각 시점에서의 속도는 아주 작은 시간의 변화 dt와 곱해져, 이에 대응하는 아주 작은 시간 동안 움직인 아주 작은 거리를 도출하게 된다. 높은 수준에서, 이런 유형의 문제들 다수는 그래프 아래의 면적을 구하는 것과 동등한 문제로 변하게 된다.
3b1b 미적분학의 본질
큰 수가 작은 것들의 합으로 근사될 수 있는 문제들은 특정 그래프 아래의 면적에 관한 문제로 해결할 수 있다는 점은 미적분학의 중요한 포인트이다. 하지만 원의 경우 그래프 아래에 근사한 형태가 삼각형이었기에 넓이를 쉽게 구할 수 있었지만 포물선의 형태를 이루는 경우 여전히 넓이를 이루는 원래의 함수는 파악할 수 없는 상황이다.
2. 도함수의 역설과 기하학을 통한 미분 공식
도함수란 한 점의 변화율에 가장 근접한 상수값이며 증분에 대한 사고를 명심해야한다
도함수의 핵심
변화율
도함수 (Derivative) : 도함수는 주어진 함수의 변화율을 나타내는 함수로, 함수의 입력 값이 미세하게 변화할 때 출력 값이 얼마나 변하는지를 나타내는 값을 계산하는 함수이다. 수식은 다음과 같다. 도함수는 그래프에서 한 시점의 변화율을 출력하는 함수인데, 여기에 모순이 발생한다. 변화라 함은 위 그림의 왼쪽 그래프처럼 둘 이상의 시점에서 일어나는 것인데, 딱 한 시점만 존재할 때 변화라 하는 것은 정의될 수 조차 없기 때문이다.
이를 위해 아주 짧은 시간 동안의 속도를 구하는 순간변화율이란 개념을 통해 역설을 피한다. 시간의 변화를 ds라고 부르고 이동 거리의 변화를 dt라고 부른다. 즉 한 시점의 속도는 dt분의 ds, 이동 거리의 변화를 시간의 변화로 나눠서 구할 수 있다. 원본 함수에 변화율 공식을 대입하면 위와 같은 도함수의 수식을 얻을 수 있다.
도함수의 정의
하지만 이렇게 특정한 값으로 dt를 지정하는 것이 순수 수학에서의 도함수의 정의는 아닌데 도함수는 여기서 dt가 0에 다가감에 따라 가까워지는 어떠한 특정 비로 정의한다. 어느 dt값이든 이 비율 ds/dt는 그래프의 두 점을 지나는 직선의 기울기인데, dt가 0에 다가가면 두 점의 간격 역시 서로 가까워지면서 그 직선의 기울기는 점 t의 접선과 같아진다. 즉 순수 수학에서 도함수의 정의는 변화율이 아닌 한 점의 접선의 기울기인 것이다. 순간변화율보다는, 한 점의 변화율에 가장 근접한 상수값이라고 생각하는 것이 좋다.
이제 이렇게 도출한 도함수의 공식에 특정 함수를 대입해보면 우리가 익히 알고있던 미분 공식을 통해 도출해온 식이 나온다. 또한 기하학을 통해서도 이 미분 공식을 파악할 수 있는데 앞서 파악한 증분이라는 도함수의 원리를 정사각형과 정육면체의 넓이에 대입한 뒤 계산하고 Power Rule을 통한 추상화로 식이 도출된다.
빠르고 상징적인 계산보다, 이런 규칙들이 적용 가능한 지를 기억해두며 도함수의 매우 중요한 핵심인 증분에 대한 사고를 명심하자. 이제 몇 가지 미분법들에 직관적이고 기하학적인 유도법을 살펴보자.
1/x의 경우 미분의 거듭제곱 법칙을 사용하면 지수 -1을 앞으로 끌어내고 뒤에는 -2를 남겨 미분할수 있다. 이것을 기하학적으로 추론하면, x분의 1은 어떤 수 x를 곱하면 1이 되는 수라는 뜻이니 가로가 x, 세로가 x/1인 정사각형의 넓이로 표현할 수 있다. 여기에 x 값을 아주 작은 값 dx만큼 증가시키는 걸 상상해보면, 정사각의 오른쪽에 넓이가 새로 생기면서 높이도 d(1/x)만큼 감소한다. 이 사라진 넓이와 생겨난 넓이는 같아야 한다.
3. 연쇄 법칙과 곱미분 법칙, 지수함수의 미분과 오일러 상수
우리가 아는 대부분의 함수는 더하는 형태, 곱하는 형태, 합성의 형태로 인식한다면 어떤 식이라도 이해할 수 있다.
심화 미분의 기본적인 접근
함수들의 결합 방식은 대표적인 3가지 경우로 추릴 수 있다. 서로 더하는 경우, 곱하는 경우, 한 함수를 다른 함수에 넣는 합성의 경우가 있다. 우리가 아는 대부분의 함수들은 이 세개의 결합법칙들이 층층히 쌓여 구성되는데, 이들을 세 형태에 따라 인식하기만 한다면 어떤 식이라도 한층한층 파악할 수 있는 것이다. 그렇다면 우리가 두 함수의 도함수를 알 때 두 함수의 합, 두 함수의 곱, 두 함수의 합성의 도함수는 어떻게 구할까?
먼저 합미분 법칙을 보면, 두 함수의 합의 도함수는 각 함수의 도합수의 합과 같다. 두 함수의 합을 미분한다는 것은 실제로 어떤 의미일까? 예시로 f(x) = sin(x) + x2를 생각해보면, 함숫값 f(x)는 말그대로 x에 대한 모든 sin(x)와 x2의 값을 더한 것이 된다. 높이의 총 변화에 대한 x의 변화의 비는 df/dx는 당연하게도 함수 각자의 도함수의 합인 cos(x) + 2x일 것이다.
하지만 곱의 경우는 약간 다르다. 두 대상의 곱을 다룰 땐 그래프보다 넓이를 구하는 문제로써 생각하는 것이 효과적이다. 각 변의 길이가 sin(x), x*x인 사각형을 생각해보자. 변 각자가 함수이기 때문에 이 변들의 길이는 x와 종속 관계에 있으므로 x값에 따라 변의 길이를 자유롭게 조절할 수 있다는 의미가 있다. 앞서 살펴봤던 기하학적으로 곱미분 법칙을 계산하는 걸 떠올리면 쉽게 이해할 수 있다.
마지막은 연쇄법칙이다. 연쇄법칙은 합성 함수가 주여졌을 때 다음과 같이 표현된다. 즉 외부 함수를 미분하고 그 결과에 내부 함수 g(x)의 미분을 곱한 것이다.
연쇄법칙을 직관적으로 이해하기 위해선 수직선을 그려 각 단계의 변화량을 파악하고 이를 추적하면 쉽게 이해할 수 있다.
지수함수는 변수가 지수로 나타나는 함수로 인구의 변화나 세포 분열을 예시로 들 수 있는데, 세포가 1분 마다 두 배로 분열하는 경우 세포 수를 나타내는 함수는 이산적으로 증가하는 지수함수의 형태를 띤다. 이를 변화량의 개념인 도함수에 적용하면, 즉 총 질량의 작은 변화를 시간의 작은 변화로 나눈 값을 구해야한다. 1분 동안의 평균변화율에 대해 생각해보면, 늘어나는 비율이 시작하는 날의 규모와 같게 된다. 따라서 도함수가 자기 자신과 같다고 생각할 수 있는데, 이는 수식상 t와 t+1을 비교하고 있는 것이다. 하지만 도함수로는 그보다 훨씬 작은 변화율을 보여야 한다.
지수함수의 중요한 성질 중 하나는 자기 자신을 미분했을 때, 결과가 비례적이라는 점이다. 지수함수를 순간변화율의 공식에 대입하고 dt에 매우 작은 값을 대입해보면 어떠한 상수값에 근접해간다는 것을 알 수 있다. 즉 어떤 시간에 대한 변화율은 비록 그 자신과 같지 않지만 그 자신에 비례하게 된다는 것을 알 수 있다. 그렇다면 이 비례 상수가 1이 되게하는 수도 존재할까? 실제로 도함수가 자기 자신인 밑 a가 존재하며 이를 자연상수 e라고 부른다.
4. 음함수의 미분
음함수는 주어진 함수의 값을 정의하기 위해서는 함수의 변수값을 해결해야 하는 경우를 말한다. 일반적으로, 음함수는 명시적으로 y를 x의 함수로 표현하기 어렵거나 불가능할 때 사용된다. 음함수의 대표적인 예로 원의 방정식을 들 수 있다. 음함수의 미분을 직관으로 파악하기엔 어렵기 때문에 다음과 같은 예시로 연관변화율에 대해 생각해보자.
벽에 기대어진 사다리가 있고 사다리 꼭대기가 초당 1m의 속도로 떨어지도록 벽을 미끄러져 내려온다고 가정해보자. 사다리가 움직이기 직전 사다리 바닥이 벽으로부터 멀어지는 속도는 얼마일까? 저 바닥과 벽 사이의 거리는 사다리의 꼭대기와 바닥 사이의 거리에 따라 결정된다. 그러니 이를 알아내려면 각 값의 변화율이 서로에 어떻게 종속되어 있는 지에 대한 충분한 정보를 가지고 있어야 한다. 연관변화율의 결과가 상수값이고 이를 미분했을 때 0이 된다는 것은 식의 값이 변하지 않아야한다는 말과 같다. 동일한 식을 원의 방
5. 엡실론-델타 논법과 로피탈 정리
시작 전 정리하는 차원에서, 도함수의 정의는 위 식과 같다. 변화율을 나타내는 기호에 이 변화가 아주 작은 경우를 극한으로 보내어 순간 변화율을 구한다.
입실론 델타 논법은 극한 그 자체를 엄밀히 정의할 때 사용된다.
입력값 범위를 x 주위로 델타만큼 떨어진 구간으로 잡았을 때 델타 범위에 대응하는 함숫값의 범위는 항상 12 주위 엡실론 범위 내부에 존재한다는 것이다. 아무리 엡실론을 줄여도 델타에 대한 함숫값은 항상 존재한다는 것이 핵심이다. 반면 위의 예시처럼 극한이 존재하지 않는 예시를 살펴보면 우리가 엡실론을 비교적 큰 0.4를 넣기만 해도 입력값 범위 델타를 최대한으로 줄인다 한들 델타 내에 대응하는 함숫값은 항상 입실론 안에 존재하지 못한다는 것을 볼 수 있다. 입실론 내에 대응하는 함숫값은 항상 델타 안에 존재하지 못한다는 것을 볼 수 있다.
극한이 도함수의 정의를 적을 수 있도록 도와준 이후에, 도함수는 다시 극한을 구하는데에 도움을 주게 된다.
6. 적분, 넓이와 기울기 사이의 연결고리
7. 고계도 함수와 테일러 급수
8. 베이즈 정리
9. 중심극한 정리